[BOJ] 1939번 - 중량제한

백준 1939번 - 중량제한 [C++]

시간제한	메모리 제한	제출	정답	맞은 사람	정답 비율
1초	128 MB	14196	3401	2114	24.028%

문제

N(2≤N≤10,000)개의 섬으로 이루어진 나라가 있다. 이들 중 몇 개의 섬 사이에는 다리가 설치되어 있어서 차들이 다닐 수 있다.

영식 중공업에서는 두 개의 섬에 공장을 세워 두고 물품을 생산하는 일을 하고 있다. 물품을 생산하다 보면 공장에서 다른 공장으로 생산 중이던 물품을 수송해야 할 일이 생기곤 한다. 그런데 각각의 다리마다 중량제한이 있기 때문에 무턱대고 물품을 옮길 순 없다. 만약 중량제한을 초과하는 양의 물품이 다리를 지나게 되면 다리가 무너지게 된다.

한 번의 이동에서 옮길 수 있는 물품들의 중량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N, M(1≤M≤100,000)이 주어진다. 다음 M개의 줄에는 다리에 대한 정보를 나타내는 세 정수 A, B(1≤A, B≤N), C(1≤C≤1,000,000,000)가 주어진다. 이는 A번 섬과 B번 섬 사이에 중량제한이 C인 다리가 존재한다는 의미이다. 서로 같은 두 도시 사이에 여러 개의 다리가 있을 수도 있으며, 모든 다리는 양방향이다. 마지막 줄에는 공장이 위치해 있는 섬의 번호를 나타내는 서로 다른 두 정수가 주어진다. 공장이 있는 두 섬을 연결하는 경로는 항상 존재하는 데이터만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 답을 출력한다.

예제 입력 1

3 3
1 2 2
3 1 3
2 3 2
1 3

예제 출력 1

3

출처

https://www.acmicpc.net/problem/1939

 

알고리즘 분류

• 이분 탐색
• 그래프 이론
• 그래프 탐색
• 너비 우선 탐색

접근 방법

Brute-Force

출발점에서 도착점까지의 경로가 될 수 있는 다리들을 모두 추린다음, 특정 경로상의 모든 다리가 견딜 수 있는 최대 무게 측정

-> 메모리 제한으로 모든 가능한 경로를 저장할 수 없음

 

Parametric search

결국 우리가 구하고자하는 최대하중 C는 $1$부터 $max(E), edge의 최댓값$ 까지의 범위를 가진다.

최대하중을 K라 하였을 때, K였을 때 출발점에서 도착점까지 도착할 수 있다면 K-1이었을 때도 출발점에서 도착점까지 도착할 수 있다.

결정함수를 "ß(x) = x일때 출발점에서 도착점까지 도착할 수 있는가?"로 두었을 때 특정 값 µ을 기준으로 참/거짓으로 양분화 할 수 있게된다.

이것을 기준으로 Parametric search를 이용해보자.

특정 값 µ에서 출발점에서 도착점까지 무사히 도착할 수 있을 때 µ이하의 값들은 무조건 출발점에서 도착점까지 도착할 수 있음이 보장된다.

그러므로, 우리는 최적해를 찾기 위해 더 큰 값의 범위를 탐색해보는 방식으로 Parametric Search를 진행한다.

그러면, ß(x)를 만족하는 x들 중 최댓값을 구할 수 있게 된다.

 

BFS

출발점에서 도착점까지 itemWeight를 견디고 지나갈 수 있는 경로가 있는가? 에 대한 조건함수를 구현하기 위해 너비 우선 탐색 방법을 통해 가능한 모든 경로를 찾아보고자 하였다.

우선, 이렇게 노드가 많은 그래프일 경우 인접행렬로 그래프를 구현하는 것보다 인접리스트로 구현하는 것이 좀 더 효율적이다.

이 후, 일반적인 BFS방식으로 진행하되 다음 노드로 넘어가는 Bridge의 중량제한이 현재 짐의 중량보다 적을 경우 더 이상 해당 경로로 탐색을 진행 할 이유가 없으므로 skip 해주는 방식으로 구현하였다.

 

총 시간복잡도는 $O(NM*log(C))$ 가 되겠다.

 

소스 코드

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int N, M;
vector<pair<int,int>> weight[10001];
int src, dest;
bool BFS(int itemWeight){
    bool visited[10001] = {false,};
    queue<pair<int,int>> Q;
    visited[src] = true;
    Q.push({0, src});

    while(!Q.empty()){
        int current = Q.front().second ; Q.pop();
        if( current == dest ) return true;

        for(int i=0; i<weight[current].size(); i++){
            int next = weight[current][i].second;
            // 현재 다리가 버틸 수 있는 최대 중량
            int maxWeight = weight[current][i].first;
            if( visited[next] || maxWeight < itemWeight )
                continue;
            visited[next] = true;
            Q.push({maxWeight, next});
        }

    }
    return false;
}
int main(void){
	// algorithm
    cin >> N >> M;

    for(int i=0; i<M; i++){
        int from, to, w;
        cin >> from >> to >> w;
        weight[from].push_back({w, to});
        weight[to].push_back({w, from});
    }

    cin >> src >> dest;

    long long left = 0, right = 1e9;
    long long ans = -1e9;
    while(left <= right){
        // src -> dest 가는 길 위에 모든 간선이 무게가 mid 이하이면 true
        int mid = (left+right)/2;
        bool canVisit = BFS(mid);
        if( canVisit ){
            ans = mid;
            left = mid + 1;
        }else{
            right = mid - 1;
        }
    }
    cout << ans;

    return 0;
}