[BOJ] 2098 - 외판원 순회

백준 2098번 - 외판원 순회

시간제한	메모리 제한	제출	정답	맞은 사람	정답 비율
1 초	128 MB	21025	5466	3249	28.101%

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

 

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예제 입력 1

4
0 10 15 20
5 0 9 10
6 13 0 12
8 8 9 0

예제 출력 1

35

출처

www.acmicpc.net/problem/2098

2098번: 외판원 순회

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍
• 비트 마스킹
• 비트필드를 이용한 다이나믹 프로그래밍
• 외판원 순회 문제

 

접근 방법

이 문제는 방문하는 도시의 수가 최대 16이므로, 일반적인 DFS를 통해 모든 경우를 탐색할 경우 시간 초과가 나게 된다. 

(16! = 20,922,789,888,000)

이 문제를 풀기 위해 필요한 최적화 기법은 2가지가 있겠다.

 

1. Dynamic Programming 을 통해 분기 횟수를 최적화

2. DP배열을 구현하기 위해, 현재까지 방문한 노드까지 모두 표현할 수 있게 비트마스킹을 통해 구현

 

또한, 모든 시작 정점에서 TSP minimum path 를 구할 필요가 없다.

[ 어느 도시에서 출발하더라도 TSP minimum cost는 같은 이유 ]

=> 다른 도시에서 출발해서 만들 수 있는 더 짧은 경로가 있다고 가정하자, 이 경로를 그대로 두고 출발 도시만 변경해서 따라가도

똑같은 경로가 나오게 된다. 고로, 처음 가정에 모순되므로 어느 도시에서 출발하더라도 TSP Minimum cost 는 같다.

 

그림으로 이해를 하는 것이 더 좋을 것 같다.

 

이미, TSP의 최단 경로가 있을 경우 방문 순서를 다를 수 있겠지만 결론적으로 방문한 경로는 같으므로, cost는 같다.

그래서 임의의 도시를 0번 도시로 잡고, 0번 도시에 대해서만 TSP minimum path를 구하면서, N번의 반복을 줄일 수 있다.

이와 관련된 내용을 더 살펴보고 싶다면, Hemiltonian Cycle 과 관련된 성질을 살펴보면 되겠다.

 

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소스코드에서, 먼저 분기의 횟수를 최소화하기 위해서 DP[i][j]를 다음과 같이 정의해 주었다.

DP[i][j] = j까지 방문하고(비트 마스킹으로 표현), 현재 i 도시에 위치하고 있을 때, 방문한 경로의 최소 가중치 

j를 다음과 같이 비트 단위로 표현하자. ( 100000..000 : 0번 도시 방문, 110000....0000  : 0,1번 도시 방문, ... )

(도시의 개수가 최대 16개이므로, 충분히 메모리 상에 담을 수 있다!)

 

그러면 최단 경로를 찾기 위해 현재 도시위치와 연결된 도시들 중 방문하지 않고 길이 있는 도시를 찾아서 DFS를 돌리면 된다.

이 때, 방문하지 않은 도시는 비트 마스킹을 통해서 체크할 수 있다. 그 후 해당 도시를 방문했을 때의 cost를 dp배열에 저장한다음 다음 재귀호출에 사용할 visited에 마스킹을 통해 재귀적으로 정답을 찾아 낼 수 있다.

 

소스 코드

#define INF 1e9
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[16][16];
int dp[16][1<<16] ; // j : 0100..  1번 도시 방문
int N;
int DFS(int current, int visited){
    if( visited == (1<<N)-1 ){
        if( w[current][0] == 0 )
            return INF;
        return w[current][0];
    }
    if( dp[current][visited] != 0 )
        return dp[current][visited];
    int ret = INF;
    for(int i=0; i<N; i++){
        if( w[current][i] == 0 || (visited & (1<<i)) )
            continue;
        ret = min(ret, w[current][i] + DFS(i, visited | (1<<i) ) );
    }
    return dp[current][visited] = ret;
}
int main(void){
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin >> N;

    for(int i=0; i<N; i++){
        for(int j=0; j<N; j++)
            cin >> w[i][j];
    }
    cout << DFS(0, 1);

    return 0;
}